** ln et suite (2)

1. Soit  `f` la fonction définie sur `]0 \ ;+\infty[` par \(f (x) = \ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)− x.\)
    a. Déterminer les limites de la fonction  \(f\) en  \(0\) et en \(+\infty\) .
    b. Montrer que la fonction  \(f\) est strictement décroissante sur `]0 \ ;+\infty[` .
    c. Montrer qu’il existe un unique réel  \(\alpha\) appartenant à    `]0 \ ;+\infty[` tel que \(f(\alpha)=0\) . Déterminer une valeur approchée de  \(\alpha\) à  \(10^{-3}\) près.
2. Soit  \(g\) la fonction définie sur `]0 \ ;+\infty[` par \(g(x) = \ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\) .
Soit \((u_n)\)  la suite définie par \(u_0 = 1,5\) et, pour tout entier naturel \(n,\ u_{n+1}=g(u_n)\) .
On a représenté ci-dessous la courbe  représentative de la fonction  \(g\) notée \(\mathscr{C}_g\)  ainsi que la droite d’équation \(y=x\) .

    a. Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite \((u_n)\) .
    b. La suite \((u_n)\)  semble-t-elle monotone ? Convergente ?
    c. On admet que la suite  \((u_n)\)  est convergente vers un réel \(\ell>0\) . Montrer que \(\ell=\alpha\) .