** ln et suite (2)

1. Soit  $f$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})-x.$
    a. Déterminer les limites de la fonction  $f$ en  $0$ et en $+\mathrm{\infty }$ .
    b. Montrer que la fonction  $f$ est strictement décroissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ .
    c. Montrer qu’il existe un unique réel  $\alpha$ appartenant à    $]0;+\mathrm{\infty }[$ tel que $f(\alpha )=0$ . Déterminer une valeur approchée de  $\alpha$ à  ${10}^{-3}$ près.
2. Soit  $g$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$ .
Soit $(u_n)$  la suite définie par $u_0=1,5$ et, pour tout entier naturel $n,u_{n+1}=g(u_n)$ .
On a représenté ci-dessous la courbe  représentative de la fonction  $g$ notée ${\mathcal{C}}_g$  ainsi que la droite d’équation $y=x$ .

    a. Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ .
    b. La suite $(u_n)$  semble-t-elle monotone ? Convergente ?
    c. On admet que la suite  $(u_n)$  est convergente vers un réel $\ell >0$ . Montrer que $\ell =\alpha$ .